Va rog, daca puteti sa ma ajutati si pe mine la subpunctul b, pe primul l-am facut.
Fie n un numar natural compus. Notam cu Dn cel mai mare divizor propriu al lui n. Spunem ca perechea(n, n+1) este patratica daca Dn+Dn+1 este patrat perfect. a) Sa se arate ca perechile(35, 36), (76,77) si (755,756) sunt patratice; b) Sa se arate ca exista o infinitate de perechi patratice.
Precizez ca la scrierea Dn, n este indice iar la Dn+1, n+1 este indice.
Inspirându-ne din primul exemplu (n=35), să alegem n=10k+5, deci D_n=2k+1 și atunci n+1=10k+6, deci D_{n+1}=5k+3. Trebuie ca 7k+4 să fie un pătrat perfect, u^2. Aleg u=7t-2, cu t natural nenul. Atunci u^2=49t^2-28t+4, deci obținem k=7t^2-4t.
Prin urmare, pentru n=70t^2-40t+5, perechea (n,n+1) e pătratică (pentru t=1 obținem perechea (35,36)).
Va multumesc, domnule profesor pentru ajutor! I-am dat de capat pana la urma🙂
Am nevoie iar de ajutor…
Fie a, b, c, d numere intregi astfel incat|ac-bd|=1.Sa se arate ca(a+b;c+d)=1. Multumesc.
O indicatie,va rog, cine imi da ?
ac-bd=(a+b)c-(c+d)b
Multumesc, mi-ati fost de mare ajutor!