Demonstrati ca nu exista numerele naturale prime p,q,r astfel incat p*q/ ( r^3 -1 ) , q*r / ( p^3 -1 ) si p*r / ( q^3 -1 ) .
( cu r^3 am notat r la puterea a 3-a etc. )
Am facut cateva incercari, incepand prin a presupune prin absurd ca exista numerele.
Am incercat sa ma folosesc de formula a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) si am descompus pe r^3 -1 , p^3-1 si q^3 -1 apoi am inmultit relatiile rezulate si am obtinut: p^2 * q^2 * r^2 / (r-1) * (p-1) * (q-1) * (r^2 + r+1) * (p^2+p+1 ) * (q^2 + q+1)
insa din acest punct nu am mai stiut cum sa continui
o alta idee a fost sa inmultesc fiecare relatie din ipoteza cu numarul care lipsea din produsul p*q*r . => p*q*r / (r^3 -1) * r si analoagele si am incercat sa scad cate 2 relatii dar tot nu am reusit sa ajung la ceva promitator.
As aprecia mult daca as primi niste sugestii si idei
multumesc anticipat.
quaintejuser (0)
Presupun ca e vorba de divizibilitate si nu impartire, adica pq|(r^3-1).
Presupunem, fara a restrange generalitatea, ca p<=q<=r.
Avem ca qr|(p-1)(p^2+p+1).
Dar (q,p-1)=(r,p-1)=1. Deci qr|p^2+p+1.
Cred ca am dat mai mult decat e nevoie pentru finalizarea problemei.
am scris si analoagele, ca q*r| p^2 + p +1 si p*r | ( q^2 + q+ 1 )
apoi am inmultit cele 3 relatii si am obtinut =>
p^2 * q^2 * r^2 | (p^2+ p +1) *( q^2 + q+ 1 ) * (r^2 + r+ 1 )
dar exista regula ca daca a| b => a| b*c pentru orice numar natural c fie ca a|c sau nu
si atunci daca in acest caz „a” ar fi p^2 * q^2 * r^2
si ” b ” ar fi (p^2+ p +1) *( q^2 + q+ 1 ) * (r^2 + r+ 1 )
si „c ” ar fi (r^3 -1) * (q^3 -1) * (p^3 -1)
atunci asta ar insemna ca relatia de mai jos e adevata :
p^2 * q^2 * r^2 | (r-1) * (p-1) * (q-1) * (r^2 + r+1) * (p^2+p+1 ) * (q^2 + q+1) si nu se produce contradictia
( poate am gresit eu, ma scuzati daca am inteles gresit sugestia sau daca am gresit pe parcurs )
Analoagele nu sunt valide.
Trebuie sa continui demonstratia de unde am lasat-o eu.
In plus, trebuie sa demonstrezi ca intr-adevar (q,p-1)=(r,p-1)=1.
Iar asta are legatura directa cu presupunerea facuta.
Altfel, nu-i adevarat. Contraexemplu p=7, r=2, q=3.
multumesc pentru idei, demonstratia pentru (q,p-1)=(r,p-1)=1 am facut-o
atunci voi incerca sa continui de la partea cu qr|p^2+p+1.