Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Am o solutie, dar care se bazează pe materie de clasa a IX-a/Metoda inductiei matematice.
Demonstrăm prin metoda inductiei matematice că dacă n este un numar natural n>1
A={a(1);a(2);,,,a(n)} este o multime primara atunci fie taote elemntele multimii A dau acelasi rest la impartirea cu 3 , fie toate elmentele lui A dau acelasi rest la impartirea cu 5.
P(2) este adevarata din definitia multimii primare.
Prespununem adevarata P(k) si demonstram P(k+1)
De remarcat ca orice submultime nevida a unei multimi primare este tot o multime primara.
Fie A={a(1);a(2);…;a(k);a(k+1)}. Fara a restrange generalitatea se poate presupune ca a(1);a(2);…;a(k) dau acelasi rest la impartirea cu 3. Daca si a(k+1) da acelasi rest la impartirea cu 3 problema este rezolvata. Daca a(k+1) nu da acelasi rest la impartirea cu 3 cu a(1);a(2);…,a(k) atunci rezulta ca a(k+1) da acelasi rest la impartirea cu 5 cu a(1);a(2);,,,a(k).
Avand in vedere rezultatul de mai sus rezulta ca a(1);a(2);…a(15) dau acelasi rest fie la impartirea cu 3 fie la impartirea cu 5 si deoarece 15 este divizibil atat cu 3 cat si cu 5 rezulta ca suma a(1)+a(2)+…+a(15) este divizibila cu 3 sau cu 5.
Problema se poate generaliza inlocuind 3 cu m , 5 cu n si 15 cu cel mai mic multiplu comun al lui m si n
Fie a un element fixat din mulţimea A, de exemplu, cel mai mic.
Fac următoarea ipoteză: A conţine elementele b şi c a. î. b-a este divizibil cu 3, dar nu cu 5 şi c-a este divizibil cu 5, dar nu cu 3.
Atunci c-b=(c-a)-(b-a) nu este divizibil cu 3 din cauza lui c-a, şi nici cu 5 din cauza lui b-a. Contradicţie.
Înseamnă că ipoteza făcută este falsă. Deci orice element x este de forma x=a+3k, sau, orice element x este de forma x=a+5k.
În concluzie S=15a+multiplu de 3, sau S=15a+multiplu de 5.