sa se arate ca nr. 1+3+5+…+2011 este nr par
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Cate numere sunt in total?
unul singur,deci sa arat ca nr obtinul din suma de nr este par
Fie nu m-am exprimat prea bine, fie n-am fost inteles.
Cate numere sunt in suma? De exemplu: 1 este un numar, 3 un altul , … 2011 ultimul numar.
Daca numaram numerele din suma data, cate sunt?
Trebuie să răspunzi la câteva întrebări simple, pentru a ajunge la rezultatul dorit.
1) Ce fel de număr este suma a două numere impare ?
2) Ce fel de număr este suma a patru numere impare ?
3) Ce fel de număr va fi suma a zece numere impare ?
4) Ce fel de număr va fi suma a 100 de numere impare ?
Nu este deloc necesar sa efectuam toate adunarile.
Trebuie doar sa descoperim o regula de calcul.
Mai trebuie să determinăm câţi termeni are suma din enunţ.
1=2*1-1
3=2*2-1
5=2*3-1
7=2*4-1
9=2*5-1
……
2009=2*1005-1
2011=2*1006-1
La nivelul clasei VI problema se rezolva folosind sumele Gauss.
1 + 3 + 5 +………… +2011
2011+ 2009+ 2007+………………………+1
–––––––––––––––––
2012+2012+2012+……………………….+2012
de 1006 ori
deci suma cautata va fi 2012 ori 1006 supra doi
aceasta inseamna:
deci un numar par
Da ? Asa se rezolva la nivelul clasei a VI-a?
Eu cred ca e mult mai rapid si mai ales mult mai util rationamentul:
Toti termenii sumei sunt numere impare; Nu ramane decat sa stabilim daca numarul termenilor este par (si atunci, putandu-se grupa cate doi va rezulta ca suma este para) sau impar (caz in care suma va fi impara).
Singura mica dificultate pentru elevi consta tocmai in precizarea numarului termenilor, chestiune de care te-ai lovit si matale si ai tratat-o cu superficialitate neexplicand deloc de unde l-ai scos pe acel 1006.
Aveti dreptate sigur ca problema se poate rezolva mai simplu si asa.
Eu m-am gandit la o metoda prin care cu aceasta ocazie sa invete cum se poata calcula o anumita suma de termeni.
Acum pentru a gasi numarul termenilor pornim de la cel mai mic numar despre care stim cu siguranta ce caracter are respectiv cu sot sau fara sot si acest numar este 2n care sigur este cu sot.
Dupa sau inaintea sa cu o cifra se scrie un numar fara sot.
Apoi numarul termenilor l-am dedus folosindu-ma de proprietatea pe care o are fiecare termen din sir de a fi fara sot,deci oricare acest termen poate fi de forma fie 2n+1 fie de forma 2n-1 in care n este numarul corspunzator al termenilor.
Observand evolutia catorva termeni din sir am gasit ca potrivita relatia
In cazul nostru avem 2011=2n-1 de unde rezulta evident n=1006.
Daca spre ecemplu am fi avut un sir de forma 2,4,6…….m-as fi gandit ca termenul general este un numar cu sot deci de forma
multumesc pentru completarea facuta sigur ca era util sa arat de unde am gasit acel numar de termeni.