Va rog mult sa ma ajutati sa rezolv dar si sa inteleg modul de rezolvare al urmatorului exercitiu:
1.Aratati ca:
a) 1 + 3 +5 + 7 +9 +11
b) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19
c) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99
sunt patrate perfecte
Eu am incercat sa rezolv dar nu cred ca este corect
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =
aplicand formula [n(n+1)]:2
= (11*12):2=66
U(66) = 6
b)1+3+5+7+…+19=
=(19*20):2 = 190
U(190) = 0
c) 1+3+5+7+…+99=
(99*100):2=4950
U(4950)=0
2. Aratati ca numarul
2 + 4 +6 + … +100
nu este patrat perfect
(100*101):2 =5050
U(5050) = 0
Asa se rezolva aceste exercitii???
Va rog ajutati-ma!
Ca sa calculezi sumele respective se foloseste „formula” : se aduna primul numar cu ultimul, suma se inmulteste cu numarul de termeni din suma si apoi rezultatul se imparte la 2
Ex pt prima suma S=[(1+11)*6]/2=36 care este patrat perfect
Ce sa spun…
Multumesc mult de tot pentru ajutor, nu vreau sa par nerecunoscatoare, dar tot nelamurita sunt.
M-am uitat la sfarsitul manualului, iar rezolvarea… ma afunda tot mai mult in ceata.
La ex. 1 – Rezolvare – sfarsitul cartii
1+2+3+…+n = [n(n+1)]:2
Se calculeaza
S = 1+3+5+…+2n+1=
(1+2+3+…+2n+1) – (2+4+6+…+2n)=
=(2n+1)(2n+2):2 – 2(1+2+…+n)=
=(2n+1)(n+1)-2n(n+1):2=
=(2n+1)(n+1)-n(n=1) =
=(n+1)(2n+1-n)=
=(n+1)(n+1) = (n+1)la patrat
rezulta ca e patrat perfect
si avem: a) S=1+3+5+…+(2*5+1)=6la patrat
b) S=1+3+…+(2*9+1) = 10 la patrat
c) S =1+3+5+…+(2*49+1)=50 la patrat
ex.2 – Rezolvare carte
50*51 este cuprins intre 50la patrat si 51 la patrat.
Cum s-a ajuns la aceasta solutie???
Sigur ca rezolvarea transmisa de dvs e mai usoara, dar copilul meu nu a invatat o astfel de regula la scoala inca, ceea ce inseamna ca ar trebui sa urmeze modelul din carte, pe care eu nu-l inteleg.
Ma puteti ajuta?
hai sa incercam asa ca sa ii explicati copilului: Scriem pe un rand suma cum e data in exercitiu si pe randul urmator scriem aceeasi suma dar invers, Adica:
S= 1+3+5+….+7+9+11
S=11+9+7+….+5+3+1
Apoi aduman cele 2 relatii pe verticala:
2S= (1+11)+(3+9)+(5+7)+….(7+5)+(9+3)+(11+1)
Se observa ca fiecare paranteza are aceeasi valoare. Mai ramane sa calculam cate astfel de paranteze avem (adica numarul de termeni din formula care o dadusem mai sus)
Pt asta facem asa:
termenii se succed din 2 in 2
Luam primul termen 1:2=0 rest 1 (nu ne intereseaza restul ci doar catul)
La fel cu ultimul termen 11 :2= 5 rest 1
Caturile se scad si se aduna 1 la rezultat, adica 5-0+1=6 -asta e numarul de paranteze, si deci vom avea
2S=6*(1+11)
2S=6*12
2S=72
S=36
Obs. Daca termenii se succed din 5 in 5 atunci impartirea se face la 5, tot primul si ultimul termen. Sper ca m-am facut inteleasa.
VA MULTUMESC DIN SUFLET!
ACUM M-AM LUMINAT!
GREA E MATE DE-A 5-A pt unii adulti😉
se pare ca m-am grabit….
am rezolvat ex al 2-lea dupa cum mi-ati explicat, si iata ce mi-a iesit!
S=2 + 4 + 6+…100
S=2+4+6+…+96+98+100
S=100+98+96+…+6+4+2
S=102+102+102+…+102+102+102
se repeta de 51 ori
2S=51*102
S=5202:2=2601=51la patrat !!!
cum demonstrez ca nu e patrat perfect?
Dar nu se repeta de 51 de ori!!!! Ci de 50!
primul termen 2:2 =1
ultimul termen 100:2=50
50-1+1=50
!).a). Fiind numere putine si mici,se poate folosii metoda gruparii:
1+3+5+7+9+11=(1+11)+(3+9)+(5+7)=
12+12+12=
b).1+3+5+7+…+19=(2*0+1)+(2*1+1)+(2*2+1)+(2*3+1)+…+(2*9+1)==
(2:2)*(9*10)+10=100=
(Obs.Exista o regula de calcul pentru nr. consecutive :
1+2+3+4+5+…+n=n*(n+1):2 care rezulta tocmai din gruparea mai sus aratata…)
c). 1+3+5+…+99=1+3+5+…+99+(2+4+6+…+100)-(2+4+6+…+100)=
NU STIU CE M-ASI FACE FARA VOI!
Nu mai stresat deloc. Ma bucur ca te-am putut ajuta.
Buna ziua tututor!😀 🙂
De multe zile ma lamuresc cu probleme si exercitii de aici…iar acum reusesc sa am si eu un pasaport pe-aici.
Multumesc,
Patty