?? 15

Schimb de experienta; Legislatie, regulamente, utile.
brumageorgiana
utilizator
utilizator
Mesaje: 61
Membru din: 09 Mar 2012, 19:37

?? 15

Mesaj de brumageorgiana » 01 Oct 2013, 19:32

Daca a,b,c,d sunt numere reale pozitive si a+b+c+d=1 demonstrati inegalitatea : rad din(4a+1)+rad din(4b+1)+rad din(4c+1)+rad din(4d+1)<6

Green eyes
veteran
veteran
Mesaje: 1088
Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
Localitate: Timişoara

Mesaj de Green eyes » 02 Oct 2013, 07:22

Salut,

.

Aplicăm inegalitatea mediilor pentru numerele 4a+1 şi 1, ambele pozitive, adică media geometrică este mai mică sau egală cu media aritmetică:

sau (1).

Similar, obţinem pentru perechile de numere 4b+1 & 1, 4c+1 & 1 şi 4d+1 & 1:

(2)

(3)

(4)

Adunăm membru cu membru inegalităţile notate cu (1), (2), (3) şi (4):

. Deci:

.

Să vedem dacă are loc egalitatea cu 6: pentru a avea această egalitate ar trebui ca: 4a+1=1, 4b+1=1, 4c+1=1, 4d+1=1, dar şi a+b+c+d=1. Din primele 3 relaţii avem că a=b=c=d=0, ceea ce contrazice faptul că suma lor trebuie să fie egală cu 1.

Deci inegalitatea obţinută la final este:

, ceea ce trebuia demonstrat. Mulţumită ? :-)

Green eyes.
Ultima oară modificat 02 Oct 2013, 11:17 de către Green eyes, modificat 1 dată în total.

bedrix
guru
guru
Mesaje: 2752
Membru din: 16 Dec 2010, 01:41

Mesaj de bedrix » 02 Oct 2013, 10:37

Egalitatea are putea avea loc pentru 4a+1=1 ; 4b+1=1 si 4c+1=1 rezulta a=b=c=0 contradictie deoarece a+b+c=1 (din enunt).

Green eyes
veteran
veteran
Mesaje: 1088
Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
Localitate: Timişoara

Mesaj de Green eyes » 02 Oct 2013, 11:21

Vă salut,

Mulţumesc pentru observaţie, am ţinut cont de ea şi am corectat soluţia de mai sus, să rămână pe forum soluţia corectă şi completă. Cred că era prea de dimineaţă când am rezolvat problema şi ochiul de veghe nu fusese încă trezit :).

O rezolvare completă trebuie să conţină şi condiţiile în care are loc egalitatea, sau nerealizarea egalităţii, de la caz la caz.

Cu respect,
Green eyes.

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2855
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Mesaj de PhantomR » 02 Oct 2013, 21:59


Scrie răspuns