Numere naturale

Divizibilitate (cmmdc, cmmmc). Operatii cu fractii pozitive. Rapoarte si proportii. Numere intregi. Puncte, drepte. Unghiuri. Congruenta triunghiurilor. Perpendicularitate. Paralelism. Linii importante. Paralelogramul.
mihai2000
junior
junior
Mesaje: 300
Membru din: 12 Oct 2012, 23:47

Numere naturale

Mesaj de mihai2000 » 28 Mar 2013, 14:05

Daca a si b sunt doua numere rationale astfel incit suma si produsul lor (a+b, respectiv a*b) sunt numere naturale, sa se arate ca a si b sunt numere naturale.

Poate vine careva cu o idee, nu reusesc sa-i dau de capat.

Florian_L
junior
junior
Mesaje: 134
Membru din: 19 Noi 2012, 23:07

Mesaj de Florian_L » 02 Apr 2013, 13:57

(a-b)^2=(a+b)^2 -4a*b --> (a-b)^2 este numar natural

(a-b) este rational --> (a-b)=n/m, n si m sunt numere intregi --> (a-b)^2=(n^2)/(m^2) care este natural --> m=1 (sau -1) --> (a-b)=n (sau -n) --> (a-b) este numar intreg

(a+b) este numar natural
(a-b) este numar intreg
------------------------------------
(a+b)+(a-b)=2*a si (a+b)-(a-b)=2*b
rezulta 2*a si 2*b sunt numere intregi. Dar a si b sunt pozitive fiindca suma si produsul lor sunt pozitive --> 2*a si 2*b sunt naturale

Notam:
[a] - partea intreaga a lui a
- partea intreaga a lui b
{a} - partea zecimala a lui a
{b} - partea zecimala a lui b

(a+b)=[a]+{a}++{b} - natural --> {a}+{b} numar natural. Daca a si b nu ar fi naturale (ambele) atunci {a}+{b}=1

2*a = 2*[a]+2*{a} - natural
2*b = 2*+2*{b} -natural
{a}+{b}=1
---------------------------------------------------------------------------------
Rezulta {a}={b}=0,5 (in cazul in care a si b nu sunt deja amble naturale)

a*b= ([a]+0,5) * (+0,5) = )=[a]*+ )+0,5*([a]+)+0,25 - care, conform enunt, trebuie sa fie natural, dar nu este fiindca are partea zecimala 0,25 sau 0,75 --> cazul {a}={b}=0,5 este fals --> {a} si {b} sunt 0 sau 1 --> a si b, naturale

mihai2000
junior
junior
Mesaje: 300
Membru din: 12 Oct 2012, 23:47

Numere naturale

Mesaj de mihai2000 » 03 Apr 2013, 21:20

Multumesc mult pentru raspuns, nu m-am gindit la "partea intreaga" si nu imi iesea.
Toate cele bune!

Scrie răspuns