Matematica distractiva clasele a V-a si a VI-a

Aritmetica. Puteri. Numere in sistem zecimal. Divizibilitate. Multimi. Numere rationale (fractii, numere zecimale). Rapoarte si procente.
FLORIAN
utilizator
utilizator
Mesaje: 4
Membru din: 14 Aug 2012, 17:22

Matematica distractiva clasele a V-a si a VI-a

Mesaj de FLORIAN » 14 Aug 2012, 17:30

Gaseste patru numere consecutive impare astfel incat produsul lor sa fie patrat perfect
:roll: :roll: :roll: :roll:

Bogdan Stanoiu
guru
guru
Mesaje: 1537
Membru din: 17 Oct 2010, 21:24
Localitate: Bucuresti

Re: Matematica distractiva clasele a V-a si a VI-a

Mesaj de Bogdan Stanoiu » 14 Aug 2012, 21:54

FLORIAN scrie:Gaseste patru numere consecutive impare astfel incat produsul lor sa fie patrat perfect
:roll: :roll: :roll: :roll:
Fie 2n+1; 2n+3; 2n+5; 2n+7 numerele impare consecutive din enunt.
Daca ar exista un factor prim p care sa divida atat pe
(2n+1)(2n+7) cat si pe (2n+3)(2n+5) atunci ar rezulta ca acesta ar divide si diferenta
(2n+3)(2n+5)-(2n+1)(2n+7)=8 de unde rezulta ca p=2.
Dar (2n+1)(2n+7) este impar, contradictie.
Deci (2n+1)(2n+7) si (2n+3)(2n+5) sunt prime intre ele si din faptul ca produsul lor este patrat perfect rezulta ca este necesar ca atat
(2n+1)(2n+7) cat si (2n+3)(2n+5) sa fie patrate perfecte.
Ca urmare (2n+3)(2n+5) trebuie sa fie patrat perfect.
Dar 2n+3 si 2n+5 sunt prime intre ele, si deci atat 2n+3 cat si 2n+5 trebuie sa fie patrat perfect.
Dar nu exista patrate perfecte a caror diferenta sa fie egala cu 2.
Ca urmare nu exista patru numere impare consecutive pentru care produsul lor sa fie patrat perfect.

Bogdan Stanoiu
guru
guru
Mesaje: 1537
Membru din: 17 Oct 2010, 21:24
Localitate: Bucuresti

Re: Matematica distractiva clasele a V-a si a VI-a

Mesaj de Bogdan Stanoiu » 16 Aug 2012, 21:29

FLORIAN scrie:Gaseste patru numere consecutive impare astfel incat produsul lor sa fie patrat perfect
:roll: :roll: :roll: :roll:
O alta solutie:
Daca 2n-3;2n-1;2n+1;2n+3 sunt 4 numere impare consecutive atunci
(2n-3)(2n-1)(2n+1)2n+3)=(2n-1)(2n+1)(2n-3)(2n+3)=
=(4n^2-1)(4n^2-9)
Dar 4n^2-1 si 4n^2-9 sunt doua numere impare a caror diferenta este 8 si deci sunt prime intre ele.
Ca urmare, daca (4n^2-1)(4n^2-9) este patrat perfect atunci este necesar ca 4n^2-1 si 4n^2-9 sa fie patrate perfecte.
Dar 4n^2-1 da restul 3 la impartirea cu 4 si,deoarece orice patrat perfect impar da restul 1 la impartirea cu4, rezulta ca 4n^2-1 nu poate fi patrat perfect.
Deci nu exista 4 numere impare consecutive pentru care produsul sa fie patrat perfect.

Scrie răspuns